壳体有限元方法探讨

所属栏目:城市规划论文 发布日期:2010-09-01 17:01 热度:

  摘要:本文较系统地综述了壳体有限元研究历史及其在工程应用上的发展,并对薄壳有限元的现状和发展进行了总结和评述。
  关键词:薄壳,有限元方法,有限元计算
  1前言
  随着计算机的发展,数值计算方法在结构分析领域有了飞速的发展。特别是有限元方法,在50年代中期Martin,Tuner,Clough,Todd提出了有限元的基本思想和方法[1]。这个方法特别适合于在计算机上使用,对求解各类力学问题表现出广泛的适用性,由于商品化计算机的出现,特别是编程语言的出现,这种方法立即受到广泛的注意。经过Zienkiewicz等的发展,在工业应用需求的强大推动下,有限元方法的发展十分迅速。在不到10年的时间里构造了一大批单元,吸引了一大批数学工作者参加进来,和力学工作者一起逐步建立起有限元方法的数学理论,建立了通用的求解方法和程序段。在传统的力学中,结构力学和固体力学各类问题,如杆系、板、壳、体块,其基本方程和求解方法都有明显的差别,归属于不同的研究领域。现在,力学界在历史上第一次向工业界提供了统一求解很多类型问题的方法和工具――有限元方法。
  2壳体有限元研究发展
  就壳体结构来说,由于壳体结构的几何形状、载荷和边界条件的复杂性,能够直接用各种壳体理论得到的解析解非常少,这使得有限元方法这种数值方法在实际壳体结构的分析中大有用武之地。自从50年代中期有限元方法诞生之后,它很快就被应用于壳体结构的分析中。虽然关于壳体的分析计算也提出了其他一些数值方法(如有限条法、边界元法等),以及一些半解析方法(如有限元线法)但应用并不广泛。迄今为止,有限元法仍是壳体结构分析的主要方法,也是最有效的方法之一。
  40年来,关于壳体有限元的论文已达数百篇,几乎涉及固体力学各方面的问题,如线性非线性位移应力分析、静力动力失稳分析、动力线性非线性分析、复合材料结构分析和随机分析等等。若Yang等从平板壳元、轴对称壳元和曲壳元3个角度出发,对1961~1989年的薄壳元研究进行了总结和评述[27]。Macneal对壳元发展历史中的3次重要事件进行了分段说明[27],即1961年出现的第一个板弯曲(Kirchhoff元)、1969年开始的低阶Mindlin壳元和1988年出现的高阶元(p方法元)。以Bathe为首的小组对板壳有限元做了一系列较全面和深入的研究,其中,MITC(MixedInterpolationofTensorialComponents)壳元的研究对薄壳分析具有重要意义。
  3薄壳有限元的现状和发展
  薄壳有限元的研究是在平板有限元和中厚壳有限元基础之上发展起来的。依据不同的几何近似方法、壳体理论、变分原理以及各异的处理技巧可开发出多种类型的有限元列式,壳体有限元可以有两种分类方法。第一种分类方法将壳体有限元分为平板壳元和曲壳元两类。曲壳元又可分为以壳体理论为基础的曲壳元和以3维弹性力学一般理论为基础的等参壳元(退化壳元)两种。第二种分类方法将壳体有限元分为单变量(位移型)壳元和多变量(杂交、混合、拟协调、杂交/混合)壳元两类。尽管壳体有限元方法如此之多,但很难表明哪一种方法更好,在处理薄壳问题时可能会遇到更多的麻烦。不过,一个理想的壳元应该具备下列特点:①对任何几何、边界和荷载条件都有准确解。②列式简单,显式积分。③未可采用具体的壳体理论。④不需要数值修正系数。⑤计算代价合理。⑥不出现剪切闭锁和膜闭锁等问题。⑦不含有任何伪模式。⑧满足分片试验。⑨对网格畸形不敏感,结果可靠。本文主要以第一种分类方法来论述薄壳有限元的现状和发展。
  3.1曲壳元
  在描述中我们把基于经典壳理论的曲壳元称作曲壳元。曲壳元在单元交界处的切线是连续的,可以更好地反映壳体的几何形状,而且膜弯耦合在单元内加以考虑,也即由于曲壳元的膜向应变中耦合了法向位移w的效应,能更好地模拟壳体结构的应力状态,例如由于结构或荷载的不连续,在某些壳体结构中会引起边界效应。在边界效应区域内,薄膜应力及法向位移的变化很迅速,而薄膜应力的快速变化正是由于法向位移的快速变化而引起,若不考虑薄膜应变中法向位移的耦合效应,很难反映这一区域的真实应力状态。采用曲壳单元可以用较少的单元逼近壳体的真实的几何形状,有利于提高计算精度和计算效率,但由于难以恰当表达刚体运动以避免剪切和膜闭锁,使得曲壳单元的构造变得较为困难,其实际应用也很有限。
  但是,曲壳元是复杂的壳体有限元。这种壳元是空间的2维单元。对任意形状、曲率的壳体采用简单的函数描述其几何形状是很困难的。因此,多数曲壳元是针对特殊形状壳体的有限元。例如对柱壳和旋转壳体,采用适当的壳体理论,可以给出比较准确的几何描述。曲壳元一般要求C1连续的位移插值函数,而满足C1连续的位移插值函数是很难构造的。
  1999年,孙建恒[2]等学者提出了一种广义协调三角形扁壳元。2002年,孙建恒和夏亨熹[5]又根据修正的扁壳胡海昌-鹫津原理,推导了两种具有旋转自由度的广义协调三角形扁壳元。
  3.2退化壳元
  在描述中把基于3维弹性一般理论的退化曲壳元称作退化壳元。退化壳元是Ahmad等人[3]在1970年提出的一种新型的壳体有限元。退化壳元抛弃了2维壳体理论的某些假设,采用了3维连续体方程并且仅对壳体中面进行离散。显然,退化壳元与曲壳元比较起来更简单、更具有一般性。近十几年来,退化壳元概念引起了人们极大的兴趣,除了线弹性方面的应用外,这一概念也被推广于非线性方面的分析。
  退化壳元具有几个明显的优点:①容易处理任意几何形状的壳体。不必涉及壳体理论的复杂假设;②易于推广分析非线性问题;③可用来模拟薄壳、中厚壳和复合材料层合壳;④可以使用C0连续的位移插值泛数;⑤便于壳与固体或壳与壳之间的连接。
  Ahmad等人[4,5]提出的退化壳元是在3维块体单元基础上列式的超参壳体有限元。退化壳元采用了3个基本假设:①壳体的中面法线变形后仍为直线,但不再是变形后壳体的中面法线;②中面法线上的线段在壳体变形后既不伸长也不缩短;③忽略法线方向的正应力。这样,退化壳单元每个结点具有3个平移自由度和2个转动自由度。在薄壳理论中用中面位移表示中面转动;在退化壳元中,中面转动是不依赖于位移1阶导数的独立变量;因此,现在只要求在单元交界处位移数保证连续就可以了,不再要求位移函数1阶导数的连续性。假设①使退化壳单元能够承受剪切变形,因而能够用于厚壳结构的分析。退化壳元在列式过程中采用3组直角坐标:①整体的直角坐标系;②局部的逐点流动坐标系;③等参(自然)坐标系。用整体的直角坐标系描述壳体的几何形状、计算位移和应变;在局部坐标系下定义弹性矩阵计算中面转动和应力;在等参坐标系下进行位移和转角的插值,计算单元刚度矩阵。退化壳元一般适用于中厚和厚壳分析。当使用减缩积分或选择积分时,也适用于薄壳分析。
  用减缩积分或选择积分技术进行单元矩阵的求积是克服剪切和膜闭锁现象的一种比较有效的方法[9,10].然而,减缩积分或选择积分技术的使用又可能导致另一种现象――单元矩阵缺秩或多余零能模式出现,多余零能模式又称作虚假的模式或沙漏模式。为了控制多余零能模式的出现,Jacquotte和Oden[11],Liu等人[12]提出了稳定矩阵方法;Briassoulis[13]研究了一种简单的人工的刚化单元方案,提出用稳定单元的方法来稳定系统;Vu-Quoc和Mora[14,15]使用一种摄动方法进行矩阵修正。这些方法的共同特征是用零能模式与单元刚度矩阵的特征相对应的关系,在单元刚度矩阵中与零特征值相对应的项上加一个极小的非零正常数,消除多余的能模式。减缩积分或选择积分技术的使用也可能导致曲壳单元的基本特征之一――膜和弯曲的耦合变坏。
  3.3平板壳元
  平板壳元是最简单的壳体有限元。从直观上可以看到,如果将曲面薄壳用许多小的平板单元所构成的折板去代替,则当单元尺寸越来越小时,这个折板的解答应当收敛于薄壳的精确解。而最早的壳体有限元分析是利用平板壳单元完成的。采用平板单元去逼近壳体时,在小变形情况下,可近似认为薄板的面内作用与弯曲作用是相互独立的,在平板壳单元中,将平面单元和板单元在单元水平上直接叠合,膜弯耦合在由单元局部坐标向总坐标转换组装后实现。平板形壳元由于其列式简单、使用方便且有较高的计算效率等优点,仍吸引着许多研究者。在工程中得到广泛的应用,实际数值计算的结果也显示了这种收敛性。
  这种壳元将膜元(具有拉伸特性)和板弯曲元(具有弯曲特性)简单地叠加在一起,模拟壳体的拉伸和弯曲状态,以平面来逼近壳体的曲面。在Zienkiewicz[16]和Cook[17]等人的书中,都可见到平板壳元的列式方法。平板壳元的主要优点:①列式简单;②容易输入描述几何形状的数据;③便于和其他类型单元结合;④易于模拟复杂的载荷和边界条件。以上这些优点使得平板型壳元仍吸引着许多研究者。特别是在动力及非线性分析上,平板型壳元以较高的计算效率和可靠的性能体现出其独特的优越性。但是,在壳体有限元发展早期,主要是以C1连续问题的Kirchhoff型板弯曲元为基础,配合常规平面应力元构造平板型壳元。由于板弯曲元位移场的非协调部分的位移阶次不匹配等原因,使得这类位移型平板壳元的收敛性和计算精度不理想。总的来说,它的主要缺点是:①在单元内排除了拉伸和弯曲的耦合,而这是壳体结构的基本特征之一;②当连接在一点的所有单元共面时,壳体结构的刚度矩阵将是奇异的,处理这种零刚度问题比较困难;③单元交界处的弯矩不连续的曲壳结构中是不出现的;④当处理对缺陷敏感的结构时,几何近似的不足将产生影响。关于平板型壳元的进展情况在文献[18,23]都有比较详细的论述。
  3.4多变量壳元
  位移模式的有限元在板壳分析中遇到了困难,如剪切闭锁和膜闭锁、多余零能模式等。薄板壳的分析C1是类问题,位移元正是在解决C1类问题上遇到了障碍。正如前面所述,一些研究者用一些特殊的技巧对位移元进行修正,以便克服这些困难。另一些研究人员则转向多变量有限元方法(杂交元、混合元、拟协调元、或杂交/混合元)。多变量有限元模式出现晚于有限元模式,且列式比位移模式复杂,研究得还不充分。多变量有限元方法的发展在文献[27]中有详细论述,这里不再赘述。
  4结论
  薄壳单元的构造是一个十分重要而又相对困难的课题,迄今为止,已开发出的许多壳元都有1个共同点,即不具有普适性,同时很难界定哪种单元更好。现有可用单元对一定壳体结构表现很好,但处理别的问题时却较差。此外不同问题的壳元列式着重点也不同。
  近年来,有限元研究的方向在于开发可靠、精确和有效的单元,可靠指列式稳定、通过分片试验、不闭锁和无伪零能模式等。具有这种潜质的有限元开发技术有杂交元方法、非协调位移法、RI/SRI技术、假定自然应变ANS(AssumedNaturalStrain)方法、稳定方法和自由列式等[高光19,24,25]。薄壳单元的研究仍有待进一步研究。
  参考文献
  1.钟万勰,程耿东.跨世纪的中国计算力学.力学与实践,1999,21(1)
  2.孙建恒,夏亨利,龙驭球.广义协调三角形扁壳元.河北农业大学学报,199922(4),p.133
  3.孙建恒,夏亨利.具有旋转自由度的广义协调三角形扁壳元.河北农业大学学报,2002,1025(4),p.137
  4.魏泳涛,于建华.一种新型的平板壳元.成都科技大学学报,1996,(2)
  5.龙驭球,须寅.广义协调平板型矩形壳元.计算结构力学及其应用,1994,511(2)
  6.黄若煜,郑长良,钟万勰,姚伟岸.一个基于膜板比拟理论的四节点二十四自由度平板壳单元.计算力学学报,2002,5,19(2)
  
  

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