数学建模教学探究

所属栏目:数学论文 发布日期:2010-08-12 14:38 热度:

  [内容摘要]:数学建模是数学理论知识的实际应用,数学建模的题目来源于实际生活,数学建模涉及的知识面非常大,本文通过对数学建模的教学探究,论述了数学建模的教学原则、课堂教学、教学方法及应注意的几个问题,让学生体验数学知识的产生、形成和发展,了解知识之间的内在联系,弥补了数学课程脱离生活的弊端,学会合作、交流与表达,借助数学思维掌握解决问题的策略、方法,自主探索获得成功的快乐,建立学好数学的自信心.
  
  [关键词]:数学建模教学原则课堂教学教学方法原则问题
  
  数学知识应用是转换教学模式的有效途径之一,更有利于学生树立正确的数学观和学习观,而数学建模的目的是为了适应数学新课程改革中加强应用性、创新性和以人为本的教学要求,是在现实世界中发现和提出一些数学有关的问题,进而用数学的语言、知识、方法等等,把实际问题转化成数学问题,通常称为得到一个“数学模型”,经过分析后解决这个数学模型,求出相应的结果.下面就数学建模教学作进一步阐述.
  1.明确数学建模的原则
  教学活动应该有一定的原则来指导,数学建模也有自己的原则:
  1.1适度性原则:建立数学模型是一种很复杂的工作,在课堂教学的短短几十分钟难以完成.因此,选编应用题时,必须对背景材料加工,抽取主要因素,进行适当简化,让学生能准确地用数学语言描述问题,建立模型,运用现有的数学知识和方法解决问题.
  1.2适应性原则:应用性问题的选编应与学生的知识水平相适应,与课堂教学中知识相配套,在课文活动中,应用问题涉及的数学知识可以拓宽,但课堂教学中应用问题应与教学目标一致,与课堂教学进度相适应,不可随意拓宽与加重学生问题负担.
  1.3实用性原则:应用问题的题材应尽量涉及目前学生熟悉的热点问题,所编应用问题必须符合生活、生产实际.
  2.结合建模原则优化数学建模教学过程
  数学建模的题目来源于实际生活,不同于死硬硬的纯理论学习,而且这些问题的答案不是唯一的,也没有完全绝对标准的,这些不同的因素,提供给学生足够的想象空间,结合实际,教师可以从以下方面进行课堂施教:
  2.1教学生阅读:数学建模的题目取自生活,是非常贴近学生的,能够给学生一种熟悉关感,但是这些知识的获取不能只是知道,而应该利用阅读这一种手段来获取,用阅读理解题目,从中取得教学的成分,用数学的思想和方法去解决问题.而且,数学建模涉及的知识面要求非常大,这都要求学生会阅读,增加自己的知识面.
  2.2教会学生整理:在课堂上,教师必须帮助学生搞清楚知识的来龙去脉,经纬联系,使知识条理化、系统化,也就是把生活问题整理出数学问题.
  2.3教会学生取舍:很显然,相对复杂的教学模型,没有完整的理论答案,会出现舍那取这的矛盾,这就要求学生能够做到取主要因素舍次要因素,从而使理论结果与现实结果相接近.
  2.4教会学生联系和构思:这里的联系不仅指实际问题与理论知识的联系,而且还要求把想象和抽象联系起来,最终把模型建立起来.
  2.5教会学生评价和探索:数学建模的评价不比一般题目的评价,它的评价有时不仅结果不能直接体现出来,而且也不能是一成不变的.这种过程非常复杂,应该让学生自己学会在这方面有相当深度的理解,探索可以使知识进一步深化,探索是创造的钥匙.因此,必须鼓励学生大胆构想,勇敢实践,提高学生综合应用与灵活运用知识的能力,使创造性思维得到最大限度的发展
  3.数学建模的教学方式
  数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入,把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中,通过对数学内容的科学加工、处理和再创造达到在学生中用,在用中学,让学生学习到数学的精神、思想和方法:解决数学模型问题的数学方法的完整过程:
  抽象
  (转化)
  
  求解
  
  检验
  (解释)
  
  
  3.1日常生活是应用题的源泉之一,现实中有许多问题可通过建立模型加以解决.这些大都可用基础数学知识,建立数学模型,加以解决.
  例1.将货物从A运到B(如右图),已知A
  到河岸的距离AC=3,BC=4,而水路AD上的单
  位距离的运费是陆路DB上的单位距离的运费
  的2倍,为了使运费省,点D应选在何处?
  分析:本题的数学语言非常理论化了,只要把它当作理论的应用题来解就即可,若取图中∠ACD=θ为自变量,设水路单位运价为2,于是总运费为
  y=23/cosθ+(4-3tanθ)(0≤θ≤arctan3/4).对于这个式子的最值,令=t,得:y=23(1+t2)/(1-t2)+4-32t/(1-t2)=(2t2-6t+10)/(1-t2)
  用判别式求得:ymin=4+,此时,相当有θ=л/6
  此题引导学生考虑生活中的数学,会加深对数学知识的理解和运用,恰当地将其融入课堂教学活动中,注重联系实际与数学思维.
  3.2以问题是模糊性模型的问题,介绍建模方法.这里的问题一般内容新颖、条件复杂、结论不定、解法灵活、综合性强,无现成的模式可套用,通常是是探究性的题目,问题的解决需要联合运用观察、分析等多种思维方法,同时探求多个解决方向,创造新思维和新方法,获得多种结果.
  例2.为庆祝香港回归倒计时30天,柯受良先生决定在1997年6月1日下午驾车飞越黄河壶口瀑布,已知瀑布宽约55m,怎样才能保证他平安飞过?
  这道题是影响因素很多,如空气阻力、风速、汽车性能等,解答时必需略去次要的因素,抓住汽车飞离跑道时与水平线所成的角度а,以及当时的速度v0,运用相关的物理知识,可得出数学模型:
  h=v0sinаt-gt2
  
  s=v0cosаt
  其中h为将汽车看作是一质点时与跑道末端的垂直高度,t为汽车腾空时间,取h=0消去t,得v0=,其中s为河宽,不妨取s=60m,g为重力加速度,取g=9.8m/s2得出下表一些答案:
  а 8° 10° 15° 20° 30° 45°
  v0 166km/h 150km/h 124km/h 94km/h 94km/h 8km/h
  hmax 2.11m 2.62m 4.02m 5.45m 8.69m 17.4m
  综合各种因素,将上表中的数据进行比较,可知取а=100,v0=150km/h为最优.这题从社会热点问题提出好素材,融入在数学的教学活动中,使学生掌握相关的建模方法,为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理提供了能力上的准备.在这题教学过程中,可以看出一开始把实际问题抽象成数学问题,忽略了次要因素,抓着主因素来建模.这个思维过程正是思维的发散性过程,需要联合运用观察、想象、分析、综合、类比等多种思维方法,创造新思维和新方法.
  3.3通过问题是连续型模型的题目,培养学生的探索能力和创造能力,把数学概念、公式、定理、理论体系等作为数学模型来学习,强调“建模”的过程,模型的应用,其教学思想与过程教学(概念的形成过程,公理、定理的发现过程,问题的探索过程,暴露学习的思维过程)强调探索性、自主性的教学思想是一致的.下面给出了一个连续型数学模型的题目解决问题的例子.
  例3.根据下表给出的数据资料,确定该国人口增长规律,预测该国2000年的人口数.
 人口增长模型.jpg
  分析:这是一个确定人口增长模型的问题.
  一个国家的人口与众多因素有关,为使问题简化,我们如下假设:
  (1)该国的政治、经济、社会环境稳定;
  (2)该国的人口数由其人口的生育、死亡引起,与外界移民无关;
  (3)该国的人口数量变化是连续的;
  (4)该国的每一个人有相同的生育能力和死亡机率.
  基于上述假设,我们认为人口数量是时间的函数,记时间为t,时刻的人口数为P(t).
  建模的思路是,根据给出的数据资料绘出散点图,然后寻找一条直线或曲线,使它们尽可能地与这些散点吻合,该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长率,从而进一步作出预测.
  观察散点图(如下图),从整体趋势来看,可以认为散点近似分布在一条直线t=1830为对称轴的抛物线上,选两点(1830,3.930)、(1930,62.949)为对称轴的抛物线上,可定出该抛物线方程为:P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2
  此即欲建的人口增长抛物线模型.
  我们还可以认为散点近似分布在一条指数曲线上,我们取1970、1980这两年的数据确定方程(而用1990年的数据作检查),因此,过两点(1970,122.776),(1980,131.670)求得指数方程为:
  
  P(t)=122.776*(1.007)t-1970
  即该国人口增长的指数模型.
  通过1990的人口数据的检验,其
  误差分别为8.59%和1.07%,所以,我
  们认为第二个模型精确度更标准,选取
  第二个模型预测该国到2000年的人口预
  测数为P(2000)=151.355×106.
  4.数学建模教学应注意的原则问题
  4.1在建模教学中,教师要考虑学生的情感因素(兴趣、动机、压力等)、经验因素、认知因素,使问题简化所作假设的客观性与合理性,要求建模者对现实原问题的深入了解和丰富的经验,为学生提供一种轻松愉快的氛围,为学生选择一些感兴趣的实际素材,才能增强学生的自信心,以学生主动探索为主、教师指导为辅的认知过程,对学生成功解决问题起到很大作用.
  4.2注重学生的各种能力的发展.学生在整个问题解决的过程中的能力体现,需要想象力、推理能力、综合运用相关学科的知识能力、查阅有关文献的能力、数学表达能力、抽象思维能力、计算与分析及处理数据的能力等,在课堂教学中要先注意建模过程中各种能力的培养.
  4.3切记把握好度.让学生学会数学建模只是手段而非最终目标,问题的选编必须围绕教学目标,结合学生的认知基础与兴趣,面向全体学生设下一定的坡度与难度,对于学生的问题解决过程,教师要充分做好引导,防止学生钻“牛角尖”而浪费大量的时间.
  4.4现实建模问题的解决性.对所建模实际有效性的检测和修正,需要有一定的方法,如果检测结果与现实有较大的出入,就需对假设进行修正,直至所建模型达到应有的预期目标.
  数学建模教学,让学生体验数学知识的产生、形成和发展,了解知识之间的内在联系,对数学逻辑化方法的取舍、优化与严谨的表达规范,弥补了数学课程脱离生活的弊端,学会合作、交流与表达,借助数学思维掌握解决问题的策略、方法,自主探索获得成功的快乐,建立学好数学的自信心.
  参考文献:
  冯永明等《中学数学建模的教学构想与实践》数学通讯2003年第13期
  钱佩玲编《中学数学思想方法》北京师范大学出版社2001年出版

文章标题:数学建模教学探究

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