积分法在施工测量平面数据计算中的应用

　　摘要：对于直线、缓和曲线、圆曲线道路中边桩坐标和切线方位角，可以采用积分法来计算，并采用CASIO编程实现在施工测量中的计算，还提出了几种改进方法，大大的提高了测量计算的效率。
　　关键词：积分法；复合辛普森公式；施工测量；平面坐标；CASIO计算器编程；求和函数
　　施工道路中的线型不外乎三种，即直线、缓和曲线和圆曲线，随着全站仪在工程测量中的普及，坐标放样法在工程测量中应用的越来越多，因此如何快速准确的计算出施工线路的坐标就显得特别重要了，采用的积分法来计算工程中的平面数据具有以下特点：
　　（1）对于上面说的三种线型有统一的计算公式；
　　（2）计算的方向是可逆的，既可沿着线路里程递增计算，也可沿着里程递减计算。
　　1线路坐标计算的积分通用公式
　　1.1坐标和方位角的计算模型
　　图1中桩点与线路示意图
　　如图1，设有一段曲线（可以是直线、缓和曲线、圆曲线中的任意一种，直线可以看成是曲线的特殊情况）的起、终点分别为A、B，在工程中，A、B的半径和里程都是已知的，分别为、、、，线上起点A的坐标是已知的，为、，起点A处的方位角，现在求里程为的点P的方位角和平面坐标（、，）三个数据，下面我们求这三个数据。
　　1.1.1P点的方位角
　　我们把在AP段的曲线偏角用表示，则，由图1中可知，对曲线AP段曲线进行微分有公式：，此式中，中方位角单位都为弧度。
　　P点的方位角：，曲线左偏为“-”，右偏为“+”。
　　又因为：，因为，对积分得P点的方位角公式：
　　（1）式
　　曲线左偏为“-”，右偏为“+”
　　1.1.2P点的平面坐标（、）
　　由图1可知，对AP段的弧线微分，弧长和X、Y存在以下关系，，积分后将方位角公式代入得P点的平面坐标公式：
　　（2）式
　　1.2用（1）式、（2）式条件
　　要利用（1）式、（2）式求未知P点的方位角，平面坐标（、，），要满足以下条件：
　　（1）必须知道八个已知数据，起点坐标（、），起点方位角，起点里程，起点半径为，终点里程，终点半径，曲线的偏向（左偏为“-”，右偏为“+”）；
　　（2）角度必须采用弧度。
　　2线路中桩坐标计算的复合辛普森通用公式
　　在施工测量中，测量工程师一般采用CASIOfx-4850、CASIOfx-5800计算器计算线路的中桩坐标，但由于这两种计算器本身的原因，对积分的速度还很缓慢(经过实践得出：成功积分一次需3s以上)，而这两种计算器都对一般的数学函数计算速度较快，因此我们对以上积分公式利用复合辛普森公式进行展开，在保证精度的前提下提高计算的速度。
　　2.1复合辛普森公式
　　辛普森公式的三点式为：（3）式
　　但如果用这个公式将积分展开，但为了提高展开后的精度，我们将定积分的积分区间[a,b]等分为2m段，则步长，在一个区间应用三点辛普森公式，得复合辛普森公式：
　　（4）式
　　2.2平面坐标的复合辛普森公式
　　公式（1）利用复合辛普森公式展开得平面坐标的复合辛普森公式：
　　（5）式，式中的
　　注：左偏为“-”，右偏为“+”
　　2.3平面坐标复合辛普森公式的实用公式
　　复合辛普森公式的截断误差为：
　　
　　由于我们工程测量上即可满足施工要求，当线路为半径大于50m的曲线时，m取6即可达到mm精度。
　　因此，m=6时，公式（1）利用复合辛普森公式可得下面的公式（6）：
　　 在CASIOfx-4800、CASIOfx-4850、CASIOfx-5800计算器中，已经含有求和公式，因此我们可以在编程时，直接利用此公式计算。
　　注：左偏为“-”，右偏为“+”
　　
　　4应用CASIO计算器编程
　　用CASIOfx5800计算器，利用上面的三种公式（积分公式、复合辛普森公式、复合辛普森公式展开式），实现平面测量数据的计算。
　　4.1CASIOfx5800计算器积分法公式编程 
　　利用积分法公式，在CASIOfx5800计算器上编程，计算曲线（或直线）上任意一点的平面坐标和方位角的程序为：
　　"K(QD)+"?A："K(ZD)+"?B："R(QD)"?C："R(ZD)"?D："X(QD)"?E："X(QD)"?F："F(QD)"?G："P(L=-1，R=1，Z=0)"?H：S=B-A：U=（C-D）÷(CDS)：V=1÷C：LbI1："K+"?B：S=B-A："FWJ="：G+180H(VS+US^(2)÷2)÷Π→I◢E+∫（cos(G+180H(VX+UX^(2)÷2)÷Π,0,S）→X◢F+∫（sin(G+180H(VX+UX^(2)÷2)÷Π,0,S）→Y◢Goto1：
　　4.2CASIOfx5800计算器复合辛普森公式的求和函数编程 
　　利用复合辛普森公式的求和函数，在CASIOfx5800计算器上编程，计算曲线（或直线）上任意一点的平面坐标和方位角的程序为：
　　"K(QD)+"?A："K(ZD)+"?B："R(QD)"?C："R(ZD)"?D："X(QD)"?E："X(QD)"?F："F(QD)"?G："P(L=-1，R=1，Z=0)"?H：S=B-A：U=（C-D）÷(CDS)：V=1÷C：LbI1："K+"?B：S=B-A："FWJ="：G+180H(VS+US^(2)÷2)÷Π→I◢E+S（cos(G)+cos(I)+2∑(cos(G+180H(VSX÷6+U(SX)^(2)÷72)÷Π),X,1,5)+4∑(cos(G+180H((2X-1)VS÷12+(2X-1)^(2)US^(2)÷288)÷Π),X,1,6)÷36→X◢F+S（sin(G)+sin(I)+2∑(sin(G+180H(VSX÷6+U(SX)^(2)÷72)÷Π),X,1,5)+4∑(sin(G+180H((2X-1)VS÷12+(2X-1)^(2)US^(2)÷288)÷Π),X,1,6)÷36→Y◢Goto1：
　　4.3CASIOfx5800计算器程序的说明 
　　程序中符号的意义
　　A——曲线起点里程；B——曲线终点里程/待求点里程；C——曲线起点半径；D——曲线终点半径；E——曲线起点X坐标；F——曲线起点Y坐标；G———曲线起点切线方位角H——曲线偏向（左偏时取－1，右偏时取1，直线时取0）,X——中线点X坐标；Y——中线点Y坐标；
　　注意事项：
　　1、此程序对于直线、缓和曲线、圆曲线都适用；
　　2、缓直点半径输入1000000；
　　3、此程序输入已知数据完毕后，可以不断循环的计算线上各个中桩的坐标和方位角。
　　5应用实例
　　错草沟隧道位于辽宁省丹东市宽甸县牛毛坞镇与大川头镇之间，走向南西240°左右。隧道左线起迄桩号K90+690～K93+940，长3250m。现以左线隧道中的一段缓和曲线为例，有已知数据如下：
　　表1已知数据表
　　 里程 半径 偏向 X坐标 Y坐标 方位角
　　起点 K93+211.357 2500 左偏 4531059.634 482519.041 210°05′21.05"
　　终点 K93+511.357 10^7    
　　经计算结果如下：
　　表2成果对照表
　　里程
　　桩号 图纸逐桩表 积分公式 复合辛普森公式(m=6)
　　 坐标X 坐标Y 坐标X 坐标Y 坐标X 坐标Y
　　K93+240 4531034.771 482504.819 4531034.772 482504.819 4531034.772 482504.819
　　K93+280 4530999.810 482485.384 4530999.811 482485.385 4530999.811 482485.384
　　K93+320 4530964.612 482466.382 4530964.613 482466.382 4530964.613 482466.382
　　K93+360 4530929.222 482447.740 4530929.222 482447.740 4530929.222 482447.740
　　K93+400 4530893.682 482429.384 4530893.683 482429.384 4530893.683 482429.384
　　K93+440 4530858.034 482411.240 4530858.035 482411.240 4530858.035 482411.240
　　K93+480 4530822.317 482393.232 4530822.318 482393.231 4530822.318 482393.231
　　K93+500 4530804.445 482384.255 4530804.446 482384.254 4530804.446 482384.254
　　6结束语
　　虽然复合辛普森公式比较复杂，在利用计算器编程计算时，有一些麻烦，但在较高级的CASIO积分功能强大，因此，直接利用积分公式进行坐标计算就很方便了。
　　参考文献：
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