水平荷载作用下桩基有限杆单元法算法研究论文

所属栏目:数学论文 发布日期:2012-03-16 09:41 热度:

  摘要:本文基于有限元计算的基本概念,对杆系有限元方法进行了具体分析,推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵,与传统方法进行了分析比较,提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
  关键词:水平荷载论文,桩基论文,有限元
  工程中风、海浪、地震、冲击等横向荷载对超长桩的影响十分显著,水平荷载,尤其是纵横向荷载共同作用下的超长桩研究却相对匮乏。虽然相关学者尝试利用不同方法给出倾斜荷载桩的解答及计算方法。然而,相关研究的数值计算过程较为繁琐,且多采用m法作为土体抗力假设,难以反映土体的非线性特性。
  1.轴力杆单元
  承受轴线载荷的等截面直杆如图1,其中f(x)是轴向的分布载荷(例如重力,离心力等),P1,P2,…,Pj,…是轴向的几种荷载。对此杆件进行应力和变形分析时,可以假定应力在截面上均匀分布,原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直,因此问题可以简化为一维问题。如以位移为基本未知量,则问题归结为求解轴向位移函数u(x)。
  图1轴向载荷作用等截面直杆
  从上述基本假设出发,可以导出承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下:
  几何关系     
    (1)
  应力应变关系    
       (2)
  平衡方程     
         (3)
  或       
       (4)
  端部条件     
  (端部给定位移);(端部给定荷载)(5)
  可以将问题转换为求解泛函的极值问题,其中
     (6)
  式中l是杆件长度,A是截面面积,uj=u(xj)是集中载荷Pj(j=1,2,…)作用点xj的位移。集中载荷Pj可看作是包含在分布载荷f(x)中的特殊情况,为讨论方便,后文不再单独列出解释。
  典型轴力杆单元如图2所示
  图2二结点杆单元
  每个结点i只有一个位移参数ui,单元内位移u(x)可以利用一维Lagrange插值多项式通过结点位移ui的插值表示为:
        (7)
  其中
  N=[N1N2...Nn]      (8)
  uea=[u1u2...un]T     (9)
  其中n是单元节点数,ξ是单元内的自然坐标,其与总体坐标x的关系如下:
  ,     (10)
  l是单元长度,xc是单元中心点总体坐标,-1≤ξ≤1。Ni即一维Lagrange多项式,对两结点单元
  ,     (11)
  将上式代入(3-6),并利用可以得到有限元的求解方程
  Ku=P        (12)
  上式中,,
     (13)
      (3-14)
  Ke以显式积分得出具体数值,表示如下:
        (5)
  2.弯曲梁单元论文
  承受横向载荷和弯矩作用的等截面梁见图3,其中q(x)是横向作用的分布载荷,P1,P2,…;M1,M2,…分别是横向集中载荷和弯矩。经典的梁弯曲理论中,假设变形前垂直梁中心线的截面,变形后仍保持为平面,且仍垂直于中心线。从而使梁弯曲问题简化为一维问题。基本未知函数是中面挠度函数y(x)。梁弯曲问题的基本方程如下:
  几何关系      
          (16)
  应力应变关系     
         (17)
  平衡方程      
        (18)
  端部条件为
  ,       (19)
  或 ,       (20)
  或,       (21)
  以上各式,κ是梁中面变形后的曲率;M,Q分别为截面上的弯矩和横向建立;I是截面弯曲惯性矩;,,,分别是端部给定的挠度,转动、弯矩和剪力。
  引入与基本方程相等效的最小位能原理,泛函取最小值
    (22)
  图3横向载荷作用下等截面梁
  图4二结点梁单元
  利用二结点Hermite单元,桩身位移y(z)可表示为
      (23)
        (24)
         (25)
         (26)
       (27)
        (28)
  位移向量ae中y1,y1,θ2,θ2分别为单元结点的水平位移和转角。
  利用可以得到有限元的求解方程
  Ka=P        (29)
  上式中,,
     (30)
     (31)
  上式中ξj和ξk分别为横向集中载荷和弯矩作用点的自然坐标。
  3.平面杆件系统
  对于可能承受轴力和弯矩共同作用的平面杆系,离散后单元的各个特性矩阵应是轴力单元和弯曲单元的组合。一般情况下,结点位移参数表示为:
  (i=1,2,…,n)     (32)
  单元刚度矩阵可表示成
        (33)
  其中
  (i,j=1,2,…,n)     (34)
  载荷向量按类似方法表示为
  (i=1,2,…,n)  (35)
  4.结论
  本文利用横向等效载荷的概念考虑轴向力产生的横向作用,基于弹性力学变分原理,推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵,与传统方法进行了分析比较,提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
  参考文献:
  苏静波,邵国建,刘宁.基于p-y曲线法的水平受荷桩非线性有限元分析[J]岩土力学,2006,27(10):1781-1785
  洪勇,谢耀峰,张圣平等.水平荷载下单桩有限元模拟结合p-y曲线法分析[J].中国港湾建设,2007(3):5-9
  赵明华,李微哲,杨明辉,单远明.成层地基中倾斜偏心荷载下单桩计算分析[J].岩土力学,2007,28(4):670-674
  赵明华,李微哲,曹文贵.复杂荷载及边界条件下桩基有限杆单元方法研究[J].岩土工程学报,2006,28(9):1059-1063
  赵明华,李微哲,杨明辉.成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元法研究[J].工程力学,2008,25(5):79-84

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